Lògica
Índex:
Es distingeix entre quatre tipus d’oracions:
descriptives. Per exemple: «ara plou», «el sulfúric és un àcid molt corrosiu»
imperatives. Per exemple: «vine aquí!», «no toquis això»
interrogatives. Per exemple: «t’agrada la música clàssica?»
exclamatives. Per exemple: «quin dia tant bonic que fa!»
D’aquestes oracions solament les descriptives (també anomenades declaratives o apofàntiques) poden ser verdaderes o falses, ja que són les úniques que afirmen o neguen alguna cosa. Fixem-nos, doncs, que les ordres, les preguntes i les exclamacions no són mai ni verdaderes ni falses. Així, la pregunta «quin dia és avui?» no és ni verdadera ni falsa. En canvi la resposta «avui és diumenge» sí que pot ser verdadera (si realment és diumenge el dia en que es contesta), o falsa (en cas contrari).
Un enunciat (del llatí enuntiatio, que tradueix el grec lógos apofantikós, oració categòrica, la que pot ser verdadera o falsa) és tota oració gramatical descriptiva, declarativa o apofàntica, és a dir, aquella oració que és capaç de ser verdadera o falsa, atès que tot enunciat expressa -o significa- una proposició. Això és així perquè solament les oracions descriptives o declaratives afirmen a neguen alguna cosa, a diferència de les oracions interrogatives, imperatives i exclamatives.
(Una proposició és el significat d’un enunciat, tot i que la distinció entre enunciat -cadena de signes que forma l’oració- i proposició -significat d'aquesta cadena de signes- és important, aquí utilitzem les dues expressions com si fossin equivalents)
El principi de bivalència, un dels fonaments de la lògica clàssica, estableix a més que tot enunciat, o proposició, ha de ser verdader o fals, i no les dues coses a la vegada.
Els enunciats poden ser simples (atòmics) o compostos (moleculars) i se simbolitzen mitjançant lletres d’enunciat (p, q, r, s,... minúscules).
Un enunciat és atòmic o simple quan no es pot descompondre sense perdre sentit. Per exemple, si diem «l’àcid sulfúric és molt corrosiu», aquest enunciat (i és un enunciat perquè és una oració descriptiva) no es pot descompondre, ja que si el "tallem" i, per exemple diem solament «l’àcid sulfúric», deixa de ser un enunciat, ja que aquesta oració no afirma ni nega res; no descriu res. Un enunciat simple es simbolitza per una lletra minúscula (generalment a partir de la p). Així l’enunciat «l’àcid sulfúric és molt corrosiu» es pot simbolitzar per p.
Un enunciat és molecular o compost quan es pot descompondre en dos o més enunciats simples. Per exemple, si diem «En Joan va al cinema i menja crispetes» es pot descompondre en els dos enunciats següents: «En Joan va al cinema», que podem simbolitzar per p i «en Joan menja crispetes», que podem simbolitzar per q. Així queda com p i q, que en símbols és: p Ù q
Els enunciats es combinen mitjançant connectives lògiques, també anomenades connectors o operadors (perquè operen entre enunciats). Aquests connectors es descriuen més endavant amb més detall, no obstant això, avancem que els principals connectors són:
| Nom del connector | Es llegeix.... | Símbol | Exemple | |
| negació | «no» | ¬ | ¬p, «no p» | |
| conjunció | «i» | Ù | p Ù q, «p i q» | |
| disjunció no exclusiva | «o» | Ú | p Ú q, «p o q» | |
| condicional | «si ..., llavors....» | → | p → q, «si p, llavors q» | |
| bicondicional | «si, i solament si» | « | p « q, «p, si i solament si q» |
(Aquesta taula es repeteix més endavant i s'explica amb detall)
Així, doncs, l’oració «les setmanes tenen set dies» és un exemple d’enunciat simple o atòmic, ja que no es pot descompondre en enunciats més senzills i es pot simbolitzar per la lletra p.
L’oració «els anys de traspàs tenen 366 dies» és un altre exemple d’enunciat simple o atòmic i es pot simbolitzar per la lletra q.
L’oració «Els anys de traspàs tenen 366 dies i les setmanes tenen set dies» es pot simbolitzar per (q Ù p)
En canvi l’oració «vine aquí ara mateix!», no és un enunciat, perquè expressa un imperatiu i no és una oració descriptiva. Per tant, no es simbolitza de cap manera en lògica d’enunciats. Igualment passa amb les oracions interrogatives i exclamatives.
3. El llenguatge formal de la lògica d’enunciats
La sintaxi del llenguatge formal de la lògica d’enunciats consta de:
| 1. Símbols. 1.1. Lletres d’enunciats: p, q, r, s ... (variables d’enunciats) 1.2. Operadors o connectors: ¬, Ù, Ú, →, « (que es descriuen més endavant) 1.3. Constants. 1.4. Elements auxiliars, com (...), [...]
|
|
2. Regles de formació de fórmules. 2.1. Tota lletra d’enunciat és una fórmula ben formada (fbf) del llenguatge, i constitueix un enunciat simple. 2.2. Si P és una fbf, llavors també ho és ¬P 2.3. Si P i Q són fbf, també ho són: (P Ù Q), (P Ú Q), (P→Q) i (P « Q) 2.4. Cap altre expressió és una fbf |
Els símbols i les regles de formació de fórmules constitueixen la sintaxi del llenguatge formal i, amb aquestes regles o definicions recursives de fórmula, és possible decidir quina expressió pertany a aquest llenguatge i expressar una quantitat indefinida d’enunciats.
Per exemple (p ¬q r) no és una fórmula, ja que en aquest cas els enunciats no estan degudament units. Com si en matemàtiques escrivim 3+ (que és incorrecte, mentre que, en canvi, +3 sí que té sentit matemàtic). En matemàtiques tampoc no seria correcte escriure 6√ mentre que sí és correcte escriure √6
Però (p Ù ¬q → r) sí que és una fbf (fórmula ben formada). Igualment, en matemàtiques la fórmula 3+2 = 5 és una fórmula ben formada. Un altre exemple. En castellà la frase "Mancha quiero lugar cuyo en de lugar la un nombre recordar no" no està ben formada perquè no segueix les regles gramaticals o les regles de la sintaxi castellana. En canvi la frase "En un lugar de la Mancha cuyo nombre no quiero recordar", és una frase ben formada en castellà. En els llenguatges naturals, com el català, l’anglès, etc., formem frases, en canvi en els llenguatges formals (com els de la lògica i les matemàtiques) formem fórmules.
| 3. Valors de veritat. |
Un llenguatge formalitzat no consta només d’una sintaxi (a saber, símbols i regles de formació de fórmules), sinó també d’una semàntica: ha de poder ser interpretat (ha de referir-se a alguna cosa. Interpretar un llenguatge és atribuir significat a les seves constants (símbols) i a les seves variables (lletres d’enunciats). El significat que se li atribueix és el valor de veritat.
A tot enunciat descriptiu de caràcter empíric, que tracta de fets, li assignem un valor de veritat concret -sabem si és verdader o fals- segons la seva correspondència amb els fets que descriu; a un enunciat lògic, la referència del qual als fets s’ignora metodològicament, només podem assignar-li valors de veritat possibles.
És a dir, d’un enunciat lògic no tenim perquè saber si és realment verdader o fals, solament ens interessa saber que, ja que és un enunciat, pot ser vertader o fals. Exemple, la frase «els núvols són masses de vapor d’aigua» tracta de fets i pot ser una frase verdadera o falsa. És verdadera si es correspon amb els fets, és a dir, si realment els núvols són masses de vapor d’aigua. Però si en comptes de tenir la frase escrita o pronunciada en català tenim la seva representació simbòlica com a enunciat, és a dir si tenim "p", llavors no sabem si "p" és verdader o fals, però com que és un enunciat sabem que pot ser verdader o fals.
Així, a tota lletra d’enunciat se li assignen dos valors possibles: verdader o fals, que representem per V i F o per 1 i 0 (on 1 = V , i 0 = F, per tant, indistintament utilitzarem V o 1 com a "verdader", i 0 o F com a "fals")
Una assignació de valors de veritat és una aplicació d’un conjunt de lletres d’enunciat (argument: p, q, r, s...) a un conjunt de valors de veritat (valor: V, F). Apliquem a cada lletra d’enunciat un sol valor de veritat V (1) o de falsedat F (0).
En aquesta figura, a l’enunciat p se li assigna el valor F, a q el valor V, a r el valor V i a s el valor F.
Una assignació és una interpretació. Una interpretació és, per tant, una aplicació o una funció que assigna a una fórmula, o expressió de lògica d’enunciats, els seus possibles valors de veritat.
Així, doncs, tot enunciat pot ser verdader o fals. Però com que si solament tenim "p" o "q" no sabem si realment "p" o "q" són o no verdaders o falsos, hem d’assignar-los tots els possibles valors. Quin és el número de possibles assignacions de valors?
El nombre d’assignacions per a cada fórmula és igual a 2n, on n és el número de "lletres" d’enunciats.
Així, doncs, per a una (1) lletra d’enunciat, "p" la combinació és 21=2 (p = 1 o V , p =0 o F), i ho representem així:
|
p |
| 1 V |
| 0 F |
Per a (2) dues lletres d’enunciat "p" i "q" el número de combinacions és de 22= 4
| p | q | |
| 1 V | 1 V | els dos són V |
| 1 V | 0 F | el primer és V i el segon és F |
| 0 F | 1 V | el primer és F i el segon és V |
| 0 F | 0 F | tots dos són F |
Per a (3) tres lletres d’enunciat, 23=8 possibles combinacions
| p | q | r |
| 1 V | 1 V | 1 V |
| 1 V | 1 V | 0 F |
| 1 V | 0 F | 1 V |
| 1 V | 0 F | 0 F |
| 0 F | 1 V | 1 V |
| 0 F | 1 V | 0 F |
| 0 F | 0 F | 1 V |
| 0 F | 0 F | 0 F |
En general, per tal de no equivocar-se a l’hora d’assignar valors es procedeix de la manera següent:
Si, per exemple, tenim quatre enunciats el número final és de 24=16 valors. Aquests 16 valors es posen de la manera següent:
a) a sota les caselles de la columna del primer enunciat es posen la meitat de valors (8, que és la meitat de 16) vertaders (representat per V o per 1), i 8 valors falsos (representats per F o per 0) (Total = 16)
b) es posen un una segona columna la meitat de la meitat (4 vertaders i 4 falsos) i es torna a repetir (4 vertaders 4 falsos) (Total = 16)
c) es posen en una tercera columna 2 vertaders, 2 falsos; 2 vertaders i 2 falsos; 2 vertaders i 2 falsos (Total = 16)
e) es posen en una columna 1 valor de cada: un vertader, un fals, etc, fins al total de 16 valors.
Així:
| p | q | r | s | |
| 1 (V) | 1 (V) | 1 (V) | 1 (V) | |
| 1 (V) | 1 (V) | 1 (V) | 0 (F) | |
| 1 (V) | 1 (V) | 0 (F) | 1 (V) | |
| 1 (V) | 1 (V) | 0 (F) | 0 (F) | |
| 1 (V) | 0 (F) | 1 (V) | 1 (V) | |
| 1 (V) | 0 (F) | 1 (V) | 0 (F) | |
| 1 (V) | 0 (F) | 0 (F) | 1 (V) | |
| 1 (V) | 0 (F) | 0 (F) | 0 (F) | |
| 0 (F) | 1 (V) | 1 (V) | 1 (V) | |
| 0 (F) | 1 (V) | 1 (V) | 0 (F) | |
| 0 (F) | 1 (V) | 0 (F) | 1 (V) | |
| 0 (F) | 1 (V) | 0 (F) | 0 (F) | |
| 0 (F) | 0 (F) | 1 (V) | 1 (V) | |
| 0 (F) | 0 (F) | 1 (V) | 0 (F) | |
| 0 (F) | 0 (F) | 0 (F) | 1 (V) | |
| 0 (F) | 0 (F) | 0 (F) | 0 (F) |
Així, en la primera filera apareixen els quatre enunciats verdaders, en la segona filera els tres primers verdaders i el darrer fals, etc. fins arribar a la darrera filera o els quatre enunciats són simultàniament falsos.
A partir de la noció d’assignació de valors és possible definir cadascuna de les connectives com operadors veritativo-funcionals, perquè, aplicades a un enunciat simple (quan es tracta de ¬) o a dos enunciats simples (en els altres casos), donen un valor de veritat de l’enunciat compost que és funció del valor dels enunciats que el componen. Per aquesta raó les connectives es defineixen de la manera que s’exposa a continuació.
Indistintament podem utilitzar el número 1 o la lletra V com a símbol de verdader, i el número 0 o la lletra F com a símbol de fals. En els exemple anteriors hem posat tant els números 1 o 0 com les lletres V o F, però no fa falta utilitzar tots els símbols de lletres i números alhora i és millor utilitzar o sempre els números 0 i 1 o les lletres F i V com farem a partir d’ara.
«Una connectiva veritativo-funcional és una constant lògica que expressa una manera determinada d’interpretar el valor de veritat d’un enunciat compost a partir del valor de veritat dels components.» Aquests signes connectors enllacen, doncs, els diferents enunciats i segons com s’enllacin (segons quin connector fem servir) es modifiquen els seus valors de veritat.
La lògica defineix cadascuna d’aquestes maneres mitjançant una taula de veritat pròpia de cada connectiva.
Ja que no interessa el valor de veritat segons el contingut material dels enunciats, s’utilitzen lletres d’enunciats (lletres minúscules; p, q, r,...) en lloc d’enunciats (i per parlar de les lletres d’enunciats s’utilitzen també lletres, aquesta vegada, majúscules: P, Q, R,..., anomenades variables metalingüístiques).
| Nom del connector | Es llegeix.... | Símbol | Exemple | |
| negació | «no» | ¬ | ¬p, «no p» | |
| conjunció | «i» | Ù | p Ù q, «p i q» | |
| disjunció no exclusiva | «o» | Ú | p Ú q, «p o q» | |
| condicional | «si ..., llavors....» | ® | p → q, «si p, llavors q» | |
| bicondicional | «si, i solament si» | « | p « q, «p, si i solament si q» |
«”No P” és fals quan P és verdader i és verdader quan P és fals»
Per exemple:
Si p («fa sol») és veritat, llavors ¬p es fals («no fa sol» és fals)
 |
Una altra manera de representar-ho és
|
«”P Ù Q” és verdader només quan els seus enunciats components, P i Q són tots dos verdaders».
Per exemple: Si p = «fa fred», y q = «fa vent» és veritat que «fa fred i vent» solament si veritat les dues coses alhora. En qualsevol altre cas és fals.
Fixem-nos que si diem p Ù q ens estem comprometen amb les dues afirmacions, per això tot el conjunt (p Ù q) solament serà verdader en el cas que tant "p" com "q" siguin simultàniament verdaders. Així, si diem «és de dia i està plovent» aquest enunciat compost es pot simbolitzar per:
«és de dia» = "p"
«està plovent» = "q"
I la conjunció serà (p Ù q), que evidentment solament serà verdadera en el cas que realment sigui de dia i plogui. Si plou però és de nit la frase sencera ja no és verdadera, i tampoc no ho és si és de dia però no plou.
 |
Una altra manera de representar-ho és
|
«”P o Q” és verdader quan és verdader P o quan és verdader Q, o ho són tots dos a la vegada»
Per exemple: Si p = «Anna és bona» y q = «Anna sembla bona», l’enunciat «Anna és bona o ho sembla» és veritat si resulta que és bona o si solament ho sembla, o si és bona i, a més a més, ho sembla.
Atenció, fixem-nos que es tracta d’una disjunció no exclusiva. Suposem que algú pregunta «On és en Joan?» i diem «és a la cuina o està escoltant música» tindríem que aquesta resposta es podria representar per:
«(en Joan) és a la cuina» = "p"
«(en Joan) està escoltant música» = "q"
En aquest cas "p" i "q" no s’exclouen i la disjunció seria (p Ú q). Com que ens hem compromès amb (p Ú q) tot aquest conjunt serà verdader en el cas que "p" sigui verdader, o en el cas que "q" sigui verdader, o en el cas en que tant "p" com "q" siguin verdaders. Així, si en Joan no està a la cuina, però sí que escolta música tindrem que (p Ú q) és veritat. Igualment, encara que no escolti música, però sí que està a al cuina, també és veritat. Solament serà fals si no es compleixen cap de les dues afirmacions.
 |
Una altra manera de representar-ho és
|
«”Si P, llavors Q” és verdader sempre, menys quan l’antecedent, P, sigui verdader i el conseqüent, Q, fals»
Segons com pot sembla antiintuïtiu, però el problema procedeix del fet que sovint es dóna per suposat quelcom que no s’hauria de donar per suposat. Mirem l’exemple següent:
p =«plou» (que és una versió simplificada de l’enunciat «ara plou», que és un enunciat perquè pot ser V o F.
q = «es mullen els carrers de la ciutat» Examinem l’enunciat «Sempre que plou es mulla el terra dels carrers» (p → q)
Repetim la taula:
| P | → | Q | |
| V | V | V |
Si plou i es mullen els carrers, es compleix la condició i tot el condicional és V |
| V | F | F | Si plou i no es mullen els carrers, no es compleix la condició i tot el condicional és F |
| F | V | V | Si no plou i es mullen els carrers, no sabem què passaria si plogués, que és el que hem suposat |
| F | V | F | Si no plou ni es mullen els carrers, no sabem què passaria si plogués, que és el que hem suposat |
Atenció!
El problema d’entendre bé la taula d’aquest exemple procedeix del fet que sovint pensem que la fase «si plou llavors es mullen els carrers de la ciutat» equival a dir «si NO plou llavors NO es mullen els carrers de la ciutat», però, aquest no és l’enunciat que havíem dit. Hi afegim subreptíciament una condició nova que no té perquè ser així. Si diem que «si p llavors q» no diem que «si no p llavors no q», que és un enunciat diferent. Per tant, en el que que no es doni p (és a dir, quan p és fals), com que no es dóna la condició inicial no podem saber si es compleix la condició, ja que la limitàvem al cas en què p fos verdader.
 |
Una altra manera de representar-ho és
|
«”P si i només si Q” és verdader quan P i Q són tots dos verdaders o els dos falsos; en els altres casos, és fals». És a dir, p és condició de q i q és condició de p.
Per exemple:Si p = «ets feliç» y q = «estimes», l’enunciat «ets feliç si i solament si estimes», o «ets feliç sempre i quan estimis» és veritat quan «ets feliç i estimes» y quan «ni ets feliç ni estimes», però és fals si és veritat una de les coses i no ho és l’altra.
En realitat un bicondicional (p « q) equival a la conjunció dels dos condicionals següents (p → q) Ù (q → p). És a dir que (p « q) passa si passa (p → q) i al mateix temps passa també (q → p).
4.6. Quadre d’equivalència de notacions lògiques.
En diferents obres i escoles lògiques s’han utilitzat diferents símbols dels connectors. Aquí utilitzem la notació de Hilbert, però exposem l taula d’equivalències entre els diferents sistemes de notacions
4.7. Reducció de tots els connectors a dos.
En realitat tots els connectors (o partícules connectives) es poden reduir a una combinació de la negació "¬" i la conjunció "Ù", o a una combinació de la negació "¬" i la disjunció "Ú".
Es pot provar que la fórmula condicional (p → q) equival a ¬(p Ù ¬q) i això també equival a (¬p Ú q)
Com que el bicondicional (p « q) equival a [(p → q) Ù (q → p)], si apliquem l’equivalència anterior tenim que, com que (p→q) equival a ¬(pÙ¬q) i, igualment (q → p) equival a ¬(qÙ¬p), tot el bicondicional
(p « q) equival a [¬(pÙ¬q) Ù ¬(qÙ¬p)] i això equival a
¬[(pÙ¬q)Ú(qÙ¬p)]
que a la vegada equival a ¬[¬(¬pÚq)Ú¬(¬qÚp)]
però, tot i que el valor sigui el mateix, evidentment és més fàcil escriure (p « q)
Deixem al lector la prova de que aquestes fórmules són equivalents. Per tal de fer-ho primer cal veure la definició d’equivalència lògica que fem més endavant i, abans, encara, el concepte de taules de veritat.
5. Com afecten els parèntesis a l'assignació de valors?
Fixem-nos en l'exemple següent (que a més és un cas d'equivalència lògica)
|
1ª fórmula |
2ª fórmula |
| p | q | (p | → | q) | ¬( |
p |
Ù | ¬q) | ||
| V | V | V | V | V | V | V | F | |||
| V | F | V | F | F | V | F | V | |||
| F | V | F | V | V | F | V | F | |||
| F | F | F | V | F | F | V | V |
Cal notar que en el cas de ¬(p Ù ¬ q) els valors de veritat de "p" no varien respecte dels de la fórmula (p → q) encara que davant del parèntesis hi hagi un signe de negació "¬"), mentre que "¬q" sí que és el contrari de "q". Però quan tot un parèntesi està afectat pel signe de negació "¬", llavors el que varia és el valor total del parèntesi.
És a dir, quan p és V ¬p és F; quan q és V, ¬q és F, però quan la negació afecta a tot el parèntesi el que canvia és el valor final. En un altre lloc hem senyalat la semblança entre això i la fórmula matemàtica (2+3)2, ja que també en aquest cas no s’eleva al quadrat ni el 2 ni el 3, sinó la suma, de manera que (2+3)2 = 52 = 25 no és el mateix que 22 +32 = 16. Igualment en en el cas ¬(p Ù q) la negació no afecta a p ni a q, sinó a la conjunció de p i de q.
Un altre cas:
|
1ª fórmula |
2ª fórmula |
| p | q | (p | → | q) | ¬( |
p |
→ | ¬q) | ||
| V | V | V | V | V | V | F | F | |||
| V | F | V | F | F | V | V | V | |||
| F | V | F | V | V | F | F | F | |||
| F | F | F | V | F | F | F | V |
Com que aquí la segona fórmula és la negació de la primera, ja que ¬(p → q) és el contrari de (p → q) evidentment el valor de les dues fórmules és l'invers: quan (p → q) és V, llavors ¬(p → q) és F. Però veiem que el valor de l’enunciat p, és el mateix en una fórmula i en l’altra (ja que, en el mateix context, es tracta del mateix enunciat). Per altra part, quan q és V el seu contrari que és ¬q és F i a l’inrevés. Finalment, com que tot el parèntesi ¬(p → q) està afectat per la negació, s’inverteixen els valors del resultat final.
L’abast de la negació quan afecta a un parèntesi és semblant al cas de les matemàtiques. Així, per exemple, si tenim la fórmula matemàtica (3+2)2 = 52 = 25, sabem que NO és equivalent a (32+22) = 9+4 = 16, perquè el signe d’elevar al quadrat no afecta als números que hi ha dintre el parèntesi, sinó al resultat de l’operació entre aquests números (en aquest cas, a la suma d’aquests números). Igualment, el signe de negació "¬" quan està fora d’un parèntesi (que, a diferència de les fórmules matemàtiques es posa abans del parèntesi) no afecta a cada enunciat que hi ha dintre el parèntesi, sinó a la connexió entre aquests enunciats
6. Taules de veritat
Algorisme que permet demostrar si una expressió de lògica d’enunciats és o no una fórmula lògicament verdadera.
La noció de funció de veritat, que permet crear taules de tots els possibles valors de veritat d’una fórmula, permet també analitzar el valor de veritat de qualsevol expressió de lògica d’enunciats. Per això, una taula de veritat és també un mètode o procediment semàntic que:
Permet decidir si una fórmula és una tautologia, una contradicció, o una expressió consistent, i si dues o més fórmules són lògicament equivalents. I en connexió amb això, suposat que tot raonament formalment vàlid és una tautologia -una implicació sempre verdadera-, i
permet decidir si una seqüència d’enunciats, o de fórmules de lògica d’enunciats, constitueix un raonament vàlid.
Una fórmula és una tautologia si és verdadera per a qualsevol assignació de valors de veritat. En una taula de veritat, la tautologia dóna sempre valors verdaders
Per exemple, si tenim (p Ù q) → p la seva taula de veritat és
| p | q | (p | Ù | q) | → | p | |
| V | V | V | V | V | V | V | |
| V | F | V | F | F | V | V | |
| F | V | F | F | V | V | F | |
| F | F | F | F | F |