Una de les més famoses paradoxes de la història del pensament, que manté semblances i relació amb la paradoxes del mentider i la paradoxa del barber, i amb la que Russell va provocar la crisi de la teoria de les classes i, amb ella, l'anomenada «crisi dels fonaments» de les matemàtiques (veure filosofia de les matemàtiques), en posar de manifest la inconsistència de la teoria («intuïtiva») de conjunts i de classes de Cantor i Frege (veure text ).

Hi ha classes que són membres de si mateixes (que es tenen a si mateixes com a elements o membres); així, per exemple, la classe de «totes les classes» és també una classe, però hi ha altres classes que no són membres de si mateixes com, per exemple, la classe de «els dies de la setmana» que no és ella mateixa un dia de la setmana. Què succeeix, en general, amb la classe de totes les classes que no són membres de si mateixes? És aquesta classe membre de si mateixa? Si és membre de si mateixa, no és membre de si mateixa. Si no és membre de si mateixa, és membre de si mateixa. Aquesta paradoxa sembla que pot resoldre’s com el dilema del barber; sembla que no pot existir tal classe, com sembla que no pot existir un barber contradictori (que s’afaita a si mateix si i només si no s’afaita a si mateix). En realitat, el que així es posa de manifest és que la noció mateixa de classe, definida com a conjunt d’elements que satisfan una mateixa condició de pertinença, no és correcta o no és aplicable sense més a la noció de conjunt (a la noció «intuïtiva» de conjunt). Per solucionar aquesta antinòmia o paradoxa sobre el conjunt de tots els conjunts i altres relacionades, Russell va desenvolupar la teoria de tipus (veure text).